Matematiksel Düşünme Becerisi Yazıları II

Matematiksel Soyutlamaya Devam

Matematiksel düşünme becerisinin matematiksel soyutlama becerisini kullanmakla başladığını daha önce belirtmiştik. Hatırlarsak, soyutlamanın en basit biçimi günlük yaşamda çokça kullandığımız sayma işlemi olup aynı zamanda bu, eylemle beceriye de dönüşür.  Evet, bu kadar basit! Sayılabilen her şey insan tarafından soyutlanabilen varlıklardır. Soyutladığımız nesneyi o sayıya kendi dilimizde telaffuz ettiğimiz sözcükle etiketleriz: on elma, four rabbits, tis’a kawakib (تسعة كواكب) gibi. Şimdi biraz durunuz ve etrafınızdaki nesneleri sayınız. Bu saydıklarınızı bir başka birine saydırmanız halinde aynı sonuçları elde ederseniz soyutlamanın doğrulamasını yapmış olursunuz ve sayma işlemini doğru yaptığınızı düşünebilirsiniz.Rakamlar Ne İşe Yarar?

İşin aslına bakarsak bu olgunun temelini oluşturan on adet rakam (0, 1, 2, 3, …, 9) ve rakamları yan yana getirerek oluşturduğumuz sayılar gerçek yaşamda, gerçeklikte, sosyal ve reel hayatta yani yaşamın hiçbir formunda tek veya karışık şekilde “var değildir”. Yani varlık âleminde mevcut olan bir nesne, eşya, ses, görüntü, belge vs. değildir. Evet evet, aynı şekilde üçgen, dörtgen, kare gibi geometrik cisimler de gerçek hayatta mevcut değillerdir. Bu rakamlar-sayılar ve ismini saydığımız onlarca geometrik şekiller zihnimizde hayal ederek çizdiğimiz; sonra sayı ve şekil adı vererek adını koyup dünyaya getirdiğimiz bir nevi dönüştürme (soyutlama) araçlarıdır.  Nihayetinde bütün sayılar, şekiller, devasa formüller birer hayal, birer kabul, birer sanrı, birer soyut düşünme aracıdır diyebiliriz.

Sayılarla basit soyutlamaya örnek olarak evimizin odalarının sayısı, kapılarının ve pencerelerinin sayısını verebiliriz. Eğer insan aklı sayıları (matematiği) icat etmemiş olsaydı pencerelere perde alırken kaç metre olduğundan tutun da “kaç tane pencere?” sorusunu dahi soramamış olurduk. Soyutlama; nesneleri sayma ile başlar ve metre, ağırlık, hacim, gruplandırma (sınıftaki öğrenci sayısı), zaman, puanlama (not verme, derecelendirme) gibi parametrelerle daha anlamlı hale getirilebilir. Örnek olarak, sayılar ve sayılarla soyutlama (matematik) olmasaydı bir kişinin bebeklikten erişkinliğe kadar boyunu belirlemek için her defasında yeni bir ip kullanılacaktı ve sonra bu ipleri karşılaştırıp sayamadığımız zamandaki büyümesini ipteki farklılığı göstererek “şu kadar büyümüş” diyerek belirtecektir. Biraz daha düşünürseniz işlerin ne kadar zorlaşacağını görebilirsiniz. Sadece boy ölçme değil her şey birbiri içine girip çok fena karmaşık hale gelecekti. Soyutlama öncesine devam ediyorum: Çocuk, genç, yetişkin derken sakalları çıkana kadar bir erkek çocuğunun boylara ait büyüme farklarını görmek için ölçü olarak kullandığımız bu ipleri özenle saklamak gerekecekti. Evimizde (muhtemelen mağara) yaşımızı gösteren taşlar, boyumuza ait ipler, kilomuzun değişimini gösteren ağır cisimler bizimle ilgili bilgileri içeren göstergeler olacaktı. Üff, bu iş çok çılgınca böyle uzar gider. Kendimizi toparlayarak buradan şunu çıkarabiliriz: Rakamlar dolayısıyla sayılar olmasaydı hesaplama ve formül oluşturma bu seviyeye gelmezdi. Sıfır rakamının olmadığı Romen rakam sisteminde aynı iki sayının çıkarılması sonucunda “hiçbir şey kalmadı” yazılıyordu. Örneğin 3999 sayısı yerine MMMCMXCIX  gibi uzun uzun yazılma zorluğu da eklenince basit sayılarla bile  dört işlem yapmanın zorluğu ortaya çıkmıştır. Denemek için bu Romen rakamını kendisi ile çarpmanızı tavsiye ederim. Nihayetinde kullanışsız araçlarla nasıl bir eşyayı üretemez veya tamir edemezseniz aynı şekilde bu yüzyıllar boyunca kullanılan Romen rakamlarından bilimsel ilerlemeye yarayacak faydalı sonuçlar da elde edilememiştir. Nihayetinde sıfırdan dokuza kadar olan Arap Sayı Sistemi kullanılmaya başlayınca bilimsel gelişmeler de buna paralel olarak hızlıca insanlığa sunulmaya başlamıştır.

Geometrik Soyutlama

Soyutlama deneyine ikinci tür soyutlama aracı olan geometri ile devam edelim ve etrafımızdaki gördüğümüz- kullandığımız nesneleri bir geometrik şekle benzetmeye çalışalım. Nesneleri sayarak soyutladığımız gibi aynı şekilde geometriyi kullanarak da soyutlama yapabiliriz. Meselâ, bir sivri dağı üçgene, harita üzerinde ters çizilerek gösterilen ülkemizi dikdörtgene, dünyamızı da küreye benzeterek soyutlarız. Dikdörtgene benzettiğimiz ülkemizin “en uzak” iki sınırını köşegenlerde ararız. İşte bu arama, konumlandırma, merkez ve etraf oluşturma gibi olaylar soyutlama sonrası oluşmaya başlayan matematiksel düşünme becerisidir.

Eğer elde ettiğimiz bu beceriyi öğrenerek (kazanıma dönüştürerek) zihnimizde kalıcı hale getirirsek artık bu özelliği hayatın hemen noktasında kullanmaya bile başlayabiliriz. Eğitim bilimlerine de âtıf yaparak bir konuda fikri olanlar genellikle “düşünme becerisi” olan insanlardır diyebiliriz. Daha teknik düşünenler ise “matematiksel düşünme becerisine” sahip olan insanlardır. Bir mimarın dağ, dere, tepe olan bir yeri görüp birkaç saat içinde zihninde tasarımını yaparak plan, proje ve 3B görüntü çalışması ile bir görsel ve hatasız hesaplamalarla bir plan ortaya koyması sayısal ve geometrik soyutlamanın en güzel örneğidir.

Dijital Soyutlama

Soyutlamanın dijital dünyadaki karşılığı olan algoritma kavramını anlatarak bu yazıyı da kemale erdirelim. Algoritma, matematiksel düşünme becerisinin tam olarak kendisidir ve bir problemin çözümünün adım adım kısa komutlarla yazılarak çözülmesi demektir. İlkokuldan bu yana basit bir matematik problemini çözerken hepimizin kolayca uyguladığı, bu yöntemin yazıya dökülmesinden başka bir şey değildir. Yazıya dökülmesinin nedeni bir bilgisayar programının çözmeye çalıştığı problemin çözüm adımlarının uzun ve karmaşık olmasından kaynaklanmaktadır.

Bilgisayar programlama dillerinin gelişimi ile ortaya çıkan algoritma kavramı 9. yüzyılda yaşayan ünlü İslam matematikçisi ve astronomu El-Harezmi’nin (Al-Khwarizmi) adından türemiştir. Bir sorunu çözmesi için geliştirilmek istenen yazılım (software), bilgisayar dillerinden biri ile (örneğin C#, Java, Python, SQL) kodlanmadan önce algoritma denilen “sorunu anlayanların çözümü en kısa kelimelerle anlatması” olarak betimlenen bir çözüm taslağı ile yazılır. Bu taslak yüzlerce-binlerce satırdan oluşur ve her satırın başında birden başlayan satır numaraları vardır. Sorunun çözüm aşamaları ayrı ayrı satırlarda tanımlanır ve bu tanımlanan işler başka satırlarda kullanılacaksa örneğin 125. satıra git yazılarak göndermeler ve burada işlem görüp tekrar başa dönecekse o zaman da döngüler oluşturulur. Algoritmanın bazı satırlarında büyük-küçük-eşit gibi karar vermeler, mantıksal çıkarımlar, bazı yerlerde uzun uzun formüller ve bazı yerlerde de bir işlemi yüzbinlerce kez denettiren döngüler oluşturulur. Tabii ki bunların tümü Türkçe kelimeler kullanılarak yapılır. İşte zihnimizdeki problemi algortima olarak kelimelere ve devamında programlama diline dökerek dijital soyutlama yapmış oluruz.

Çok mu Zorlandınız?

Zorlanmanızın nedeni şudur: İlkokul öğretmenimizin zoruyla öğrendiğimiz sayıları şu ana kadar aksi söylenmediği için hep gerçek varlık olarak düşündük. Meğer ki sayılar ve şekiller insan zihninde birer hayallerden ibaretmiş. Gerçek olan (görünen), yaratılmış nesnelerdir. Hakikat ise şudur: İnsan zihninde hayali olarak yaşayan sayıların ve geometrik şekillerin insan aklı ile öyle bir kuvvetli bağı vardır ki sürekli olarak birinin yerine diğeri geçer. Bu geçişmeden dolayı sayıların ve şekillerin gerçeklikte var olduğunu zannederiz. Yani matematik insan aklı ile öyle uyumlu ve bire-bir örtüşür ki sanırız ki matematik, insan aklını ortaya çıkarmak için tek yoldur! Beynimizde olup biteni bilmenin faydası ise bu araçları doğru kullanma becerisini (matematiksel düşünme becerisi) kazanmaktan geçer.