Matematiksel Düşünme Becerisi Yazıları I

Matematik ve Soyutlama

Tanım ve Fayda

Matematik, gerçek veya kavramsal varlıkları; sayılar, geometri ve mantık kullanarak soyutlayan ve böylece bu varlıklar hakkındaki genel hükümlere tanım ve ispat yaparak ulaşan bir bilimdir. Elde edilen genel ifadeler (hükümler, formüller) varlıkların yani “şey”in (şimdilik olması kaydıyla) künhünü veya hakikatini ortaya çıkarır. Hakikatin bu yolla nasip olması ise insanlığın faydasınadır. Eşyanın hikmeti ortaya çıkınca eşya ve bağlantılı nesnelerin kullanılabilirliği artar, ağır/zor işler kolaylaşır, evrensellik kazanır ve insanlık bu alemde ilerleme kat eder.

Soyutlama nasıl yapılır?

Soyutlamadan ve genel formüller (hükümler) çıkarmadan matematiksel düşünme becerisi başlamaz. Bu nedenle önce soyutlama yapmayı öğrenmemiz gerekiyor.

Dünyasal varlıkların bir kısmı ağaçlar, şehirler, arabalar gibi gözle görülebilir elle tutulabilir somut nesnelerdir. Bu nesneler sayma sayılar (doğal sayılar kümesi) kullanılarak “soyutlanır.” Gözlemlediğimiz bu nesneleri, rakamlardan oluşan sayı sembollerine karşılık getirme işi soyutlamanın en basitidir. Bunu bir adım daha açarsak: Dünyada var olan gerçek varlıklar, “zihnimizde var ettiğimiz ve bir sistem üzere olduğu ispatlanan hayali sayılar”la ifade edildiğinde soyutlama gerçekleşmiş olur. Örneğin şehirlerin sayısı sayma yapılarak tespit edilince soyutlama gerçekleşmiş ve bitmiştir. Artık şehirlerin sayısı dendiği zaman her seferinde baştan saymak yerine 81 sayısı ile etiketlenen soyutlama etiket (yani sayısal değeri) kullanılır. Şehirlerin sayısı sorulduğunda daha önce bir bilgi olarak hafızamızda yerleştirdiğimiz ilgili soyutlamayı (81sayısını) belleğimize çağırarak (hatırlayarak) kullanabiliriz. Soyutlama ile varlıkların sayısı, türü, cinsi, uzunlukları, ağırlıkları, hacimleri gibi özelliklerini soyutlarız. Basit gibi duran bu soyutlama aslında o nesne/nesnelerin tümü hakkında bilimsel çıkarımlar yapmamıza, yeni şeyler keşfetmemize ve insanlığın hizmetine sunulacak üretkenliklerde bulunmamıza yardımcı olur.

Dünya varlıklarının diğer kısmı ise insan zihninin bir tasavvuru olarak varlık âleminde yer alan “kavramlar”dır. “Kavramlar bir eşya, fikir, olay veya durumun soyut ve genel bir temsili olarak ifade edilebilir. Kavramlar, benzer özelliklere sahip bir dizi somut örneği kategorize etmek ve organize etmek için kullanılır (Claude 3 Opus, 11/04/2024).” Örneğin “ağaç” ismi dünyadaki her çeşit ağacın ortak adı olup bir kavramdır. Meyveli ve meyvesiz ağaç şeklinde iki alt kategori gibi yüzlerce kategoride değerlendirilebildiği gibi canlılar üst kategorisinde insanlar, hayvanlar, bitkiler içinde yer alabilir.

Kavram başlığı altında ele alınan “fikir” başlığını soyutlayabilir miyiz? Dikkat edilirse bu kez durum farklıdır. Burada öncekinin aksine soyut bir kavramın soyutlanması işlemi ile karşı karşıyayız. Biraz önce nesneleri soyutlarken pek zorlanmadık. Burada “Soyut kavramların matematiksel olarak soyutlanması mümkün müdür?” sorunsalı ile karşı karşıyayız. Bunun matematikte mümkün olduğunu rahatlıkla söyleyebiliriz. Bu tür soyutlamada yine tümevarım, tümdengelim, geometri veya mantık araçları kullanılır. Örneğin n-boyutlu uzayda toplama işlemi yapma fikrini ele alalım. İçinde yaşadığımız dünyanın üç boyutlu olduğunu farkında olarak ulaşamayacağımız ve göremeyeceğimiz n-boyutlu uzayı düşünelim: “…gerçeklikte olmayan ama fikirsel olarak ifade edilen bir uzay… ve fakat nasıllığını çok merak ediyoruz…bunun için üzerinde çalışılmaya değer bulunuyor, n sayısı büyüdükçe hayallerin ötesine uzanan uzay…”

Basit toplama işlemini düşünelim ve bu toplama işlemini işte bu hayalimizdeki n- boyutlu uzayda yapmak için örneğin tümevarım yöntemini kullanalım. 1, 2 ve 3. boyutlarda cebirsel ve geometrik olarak toplama işlemini rahatça yapabiliriz ve ispatlayabiliriz. Hatta geometrik olarak da yapılan işlemleri görme şansımız var. Ama 4. boyuttan sonra geometrik gösterim yetersiz geldiği için bu işlemi cebirsel olarak n. boyutta ve doğru yapıldığını ispatlayarak soyutlamayı tamamlayabiliriz.

Kavramdaki nesnelere devam…

Kavram, bir fikir veya nesne olmanın dışında bir olay olabilir. O zaman olayları soyutlamaya yarayan olasılık ve istatistik formüllerini kullanmamız gerekir. Böylece o olayın gerçekleşme ihtimali, tekrar ortaya çıkma sıklığı, ortaya çıkışları arasındaki mesafe, her bir mod’un frekansı gibi soyutlamalarla olayları anlamaya çalışırız. Bugün sosyal olayları açıklamaya yarayan ve istatistikte çok bilinen/kullanılan bir eğri vardır: Normal Eğri. İnsanların doğum ve ölüm hızları işte bu soyutlamalarla formülize edilen Normal eğriye uygundur. Yani insanların doğum ve ölüm olayları (istisnalar hariç) bu eğriye yakın sayıdadır.

İster gerçek ister kavramsal olsun soyutlanan tüm varlıklar, soyutlanmak suretiyle insan aklıyla bağlantı kurar. İşte tam da burada matematiksel düşünme becerisi başlar. Soyutlanıp, genel formüllerle ifade edilen varlıklar artık bir varlık değil işlenecek bir bilgi olarak insan aklı tarafından içselleştirilir. Akıl, soyut nesneler (formül, sayı, geometrik şekiller) ile bağ kurar, anlama, genelleme ve anlamlandırma yaparak bu girdi verilerini kullanıp yeni sonuçlar, özetler, tablolar ve nihayetinde keşifler/buluşlar yapar.

Soyutlama başka nerede var?

Soyutlamayı sadece matematik yapmaz. Diğer fen bilimleri, sanat, felsefe ve teknolojik bilimler de kendi ilkeleri doğrultusunda soyutlama yaparlar. Örneğin bir ressamın tuvaline bir manzara çizerken yaptığı her çizgi gerçek nesnenin bir soyutlamasıdır. Mühendisin tasarladığı bir araba, bir araç/gereç bir soyutlamadır. Edebiyatçılar ise edebi sanatları kullanarak soyutlarlar: Evrensel temalar veya sembolik ifadelerle bezenmiş bir şiir soyutlamaya örnektir.

Matematiksel soyutlama ile diğer soyutlamalar arasındaki özgün değeri yüksek farkı söyleyerek bu denemeyi bitirelim. Buradan şunu anlarız ki matematiksel soyutlama diğer soyutlamalar gibi değildir. Çünkü matematiksel soyutlama diğer hiçbir bilimin yapamadığı soyutlamayı yapar. Olayı anlatmaya Platon’dan başlayalım. Platon’un meşhur idealar teorisine göre âlemler en üstten aşağıya doğru şöyle sıralanır: İdealar Dünyası, Matematiksel Nesneler Dünyası, İnançlar Dünyası, Görünüşler Dünyası… Buradaki kategorilerinin ikincisi olan matematiksel nesneler, idea (mükemmel,  değişmez ve ebedi form)lar dünyası ile gerçek dünya arasındaki bağlantıyı kuran yegâne bilimdir. Çünkü matematik/geometri, idealar dünyasının mükemmeliyetini insan aklının anlayabileceği tarzda sayılar ve şekillerle soyutlayarak formüle eder.

Matematiksel düşünce becerisi nesne, kavram, soyutlama, formül, genel çözüm derken kaybolmasın! Zira matematiksel düşünce becerisi ile matematiksel soyutlama arasındaki benzerliği görmek gerekmektedir. Bunun için bir örnek verelim: Geometrik şekillerin özelliklerini anlama ve genelleme sürecine bir göz atalım.

Uygulama 1: Matematiksel Düşünce Becerisi:

Örnek olarak kare, dikdörtgen, paralel kenar gibi farklı geometrik nesneleri ele alalım. Yapacağımız iş, her bir dörtgenin kenar uzunluklarını, açılarını ve alanını hesaplamaktır. Ardından, bu dörtgenlerin özelliklerini karşılaştırır ve tüm dörtgenlerin iç açılarının toplamının 360 derece olduğu gibi bazı ortak noktaları keşfedebiliriz. Bu gözlemler, bizim matematiksel düşünce becerisini kullanarak dörtgenlerin genel özelliklerini anlamamızı sağlar.

Bu burada dursun. Şimdi aynı örnek üzerinden soyutlama nasıl yapılıyor ona bakalım:

Uygulama 2: Matematiksel Soyutlama

Dörtgenler üzerinde yaptığımız gözlemlerden yola çıkarak, dörtgenlerin genel özelliklerini soyutlayabiliriz. Yani her dörtgeni temsil edebilecek genel bir formül ortaya koymaya başlayabiliriz. Artık sadece kare değil, zihnimizde tüm dörtgenleri temsil eden soyut bir “dörtgen” kavramı oluşturabiliriz. Bu soyut dörtgen kavramı, tüm dörtgenlerin ortak özelliklerini içermeli ve hangi özelliğine (örneğin iç açıların toplamı, alan, yükseklik, kenar vs) bakılacaksa hatasız olarak DOĞRU SONUÇ vermelidir. Zihnimizde oluşturduğumuz bu soyut dörtgen kavramını kullanarak, daha genel ve soyut düşünceler geliştirebilir ve dörtgenlerle ilgili teoremleri ve problemleri çözebiliriz. Bu soyutlamayı bir bilgisayar programı ile taçlandırabiliriz.

Bu örnek ile matematiksel düşünce becerisi ve matematiksel soyutlama arasındaki yakın ilişkiyi kurmuş olduk. Bunu bir adım daha açarsak konu matematik bilmeyenler hariç herkes için tamamen anlaşılmış olacak: Matematiksel düşünce becerisi, soyutlama için gerekli olan örüntüleri, ilişkileri ve genel özellikleri keşfetmeyi sağlar. Matematiksel soyutlama ise bu keşifleri alır ve onları soyut, genel kavramlara dönüştürür. Bu iki beceri, birlikte çalışarak matematiksel düşünmeyi derinleştirir, problem çözmeyi kolaylaştırır, genel kazanımlar üretir ve üretkenliği zorlar.

Bilimde son gelinen noktaya bakarak mikrodan makroya kadar kâinatın yaratılmasında ve işleyişinde Allah’ın bize bir dil olarak bahşettiği matematik’in bulunduğunu kesinlik derecesinde söyleyebiliriz. Platon’un idealar dünyasından farklı olarak fizik dünyaya dair bir hüküm söylenecekse matematiğin soyutladığı formüller ve şekillerle söylenebilir. Bu soyutlama becerisi matematiksel düşünce becerisinin kendisidir. Matematiksel düşünme becerisine sahip olan kişileri (artık şimdilerde yapay zekâları da katabiliriz) “eşyanın hakikatini” anlamaya başlayanlar hatta anlayanlar olarak nitelendirebiliriz.