Matematiksel Düşünme Becerisi Yazıları (16)

Matematiksel Düşünme Becerisi ve Yapay Zekâ

Makinenin İçi

Yapay zekâ hakkında konuşulanların büyük kısmı ya korku ya hayranlık dilinde kuruluyor. Oysa bu teknolojinin ne olduğunu anlamanın en sağlam yolu, onu kendi öz dilinde okumaktır. O dil matematiktir. Bir yapay zekâ modelinin içinde ruh, duygu, sezgi, niyet yoktur; türev vardır, matris vardır, olasılık dağılımı vardır. Bu cümleyi modeli küçültmek için değil, doğru yere yerleştirmek için söylüyorum. Çünkü bir şeyi olduğu yerden büyük görmek de küçük görmek de aynı hatanın iki yüzüdür.

Matematiksel düşünme becerisinin (MDB) bu konuda iki ayrı işlevi var. Birincisi, yapay zekânın nasıl çalıştığını kavramak. İkincisi (ki bu daha hayatidir) yapay zekânın ne zaman yanıldığını fark etmek. Bir önceki yazıda mantık hataları üzerine söylediklerimizin tamamı, bugün karşımızda oturan bu makineler için de geçerlidir. Hatta fazlasıyla geçerlidir, zira makine, insanın mantık hatalarını da öğrenmiştir.

Üç Basamaklı Bir Merdiven

Yapay zekânın matematiği, ilkokuldan doktoraya uzanan bir merdiven gibi kurulmuştur ve her basamağı, bir öncekini terk etmeksizin üst üste biner.

En Alt Basamak: “eğer” ile “o hâlde”. Bir çocuğun “yağmur yağıyorsa şemsiye alırım” akıl yürütmesi, karar ağaçlarının tam kendisidir. George Boole’un 1854’te yazdığı Düşünce Yasalarının İncelenmesi, doğru ile yanlışı 1 ve 0’a indirgeyerek mantığı cebire çevirmişti. Boole öldüğünde bu çalışmanın bir işe yarayacağını kimse düşünmüyordu. Seksen yıl sonra Claude Shannon, yüksek lisans tezinde Boole cebrinin elektrik anahtarlarıyla gerçeklenebileceğini gösterdi. Bilgisayarlar da işte o tezin içinden çıktı. Saf matematiğin “işe yaramazlığı” üzerine yapılan yorumların ne kadar aceleci olduğunu anlamak için tek örnek bile yeterlidir.

Orta Basamak: Olasılık. Lise müfredatındaki koşullu olasılık, bugün elektronik posta kutunuzu koruyan mekanizmanın ta kendisidir. Önceki yazılarımın birinde bahsettiğim Thomas Bayes’in 18. yüzyılda, ölümünden sonra yayımlanan meşhur denklemi bir papaz tarafından ilahiyat tartışmaları için düşünülmüştü. Günümüzde milyarlarca ileti bu formülle ayıklanıyor.

Üst Basamak: Türev. Bir yapay sinir ağının “öğrenmesi” dediğimiz şey, tek bir matematiksel işlemin milyarlarca kez tekrarıdır. Algoritma şöyle çalışır: Hatayı ölç, hatanın her parametreye göre türevini al, parametreyi türevin ters yönünde küçük bir adım kaydır. 

Geri yayılım algoritmasının kalbinde ise lise seviyesindeki zincir kuralı oturur. Yani çağımızın en görkemli mühendislik ürünü, türev almanın inatla tekrarlanmasından doğmuştur.

Burada durup şunu söylemek gerekir: yapay zekâda “sihir” arayan kişi, aslında kendi matematik bilgisindeki boşluğa bakıyordur. Boşluk kapandıkça sihir de kaybolur, yerine daha kıymetli bir şey gelir: Anlama.

Modelleme: Dünyayı Denkleme Çevirmek

Modelleme, karmaşık bir sorunu çözmek için sorunu yeni bir matematiksel çerçeveye dönüştürmektir. Tahmin ise, zaten bilinen matematiksel ilişkileri kullanarak bilinmeyeni öngörmektir. MDB’nin ilk yetkinliği de zaten karmaşık bir gerçekliği çözülebilir bir biçime dönüştürmektir. Yapay zekâ tarihinin dönüm noktaları, tam olarak bu yetkinliğin zaferleridir.

Go Tahtası ve Büyük Sayılar: 19×19’luk bir tahtada (Go tahtası) olası konum sayısı 10’un 170’inci kuvveti mertebesindedir. Halbuki gözlemlenebilir evrendeki toplam atom sayısı 10’un 80’inci kuvveti civarındadır. Yani Go, tüm olasılıkları tek tek deneyerek çözülebilecek bir oyun değildir. 2016’da AlphaGo’nun Lee Sedol’ü 4-1 yenmesi bir hesaplama zaferi değil, bir modelleme zaferidir. Sistem, oyun ağacının tamamını taramak yerine, hangi dalların incelemeye değer olduğunu tahmin edip yalnızca o umut vaat eden yolları derinlemesine araştırmıştır. Maçın ikinci oyununda oynanan ünlü 37. hamle, uzmanların “bir insan asla oynamaz” dediği bir hamleydi. Bir yıl sonra gelen AlphaGo Zero ise daha da çarpıcı bir şey yaptı: daha önce hiç insan oyununu izlemeden, yalnızca oyunun kurallarından yola çıkarak kendi kendine oynadı ve kendinden önceki tüm versiyonları geride bıraktı. Buradaki asıl çarpıcı nokta skor değil, işaret ettiği şeydir. Demek ki yüzyıllar boyunca birikmiş insan sezgisi, sanıldığı kadar dokunulmaz değilmiş. İyi kurulmuş bir en iyileme süreci, o sezginin oturduğu tahtı sarsabiliyormuş.

Dilin geometrisi. Bugünkü büyük dil modellerinin temelinde 2017’de yayımlanan bir makale var, Attention Is All You Need. Getirdiği fikir şudur: bir sözcüğün anlamı, metindeki diğer sözcüklere ne kadar “dikkat” ettiğiyle belirlenir ve bu dikkat, iç çarpımla ölçülebilir:

Bu ifadede olağanüstü bir şey yoktur; sorular ile anahtarlar çarpılır, ölçek düzeltmesi yapılır, sonuç bir olasılık dağılımına dönüştürülür ve değerler bu dağılımla ağırlıklandırılır. Olağanüstü olan, bu basit işlemin yeterince büyük ölçekte tekrarlandığında dilin, üslubun, hatta akıl yürütme kalıplarının ortaya çıkmasıdır. Anlam, burada bir vektör uzayındaki konumdur. “Kral” ile “kraliçe” arasındaki uzaklığın “erkek” ile “kadın” arasındaki uzaklığa benzemesi, dilin içinde saklı duran bir geometriyi görünür kılar.

Gürültüden Görüntüye: Görüntü üreten modeller, işi tersinden yapar. Bir resme adım adım rastgele gürültü (resmi bozan öğeler) eklenerek tamamen anlamsız hâle getirilebilir. Sonra model, bu bozulmayı geri almayı öğrenir. Eğitim bittiğinde, saf gürültüden başlayıp “geri alma” işlemini uygulayarak daha önce hiç var olmamış görüntüler üretebilir. Isı denkleminin ve Brown hareketinin matematiği böylece bir çizim aracına dönüştürülerek fizikten sanata giden bu köprü kurulmuş ve matematiğin disiplin sınırlarını nasıl umursamadığı harika bir üretimle ortaya konmuştur.

Tahmin: Yaşamın Kendi Denklemleri

Elli Yıllık Bir Düğüm: Biyolojinin en eski açık sorularından biri de bir proteinin amino asit diziliminden üç boyutlu şeklinin nasıl tahmin edileceğiydi. Protein katlanması, hücrelerde saniyenin binde biri kadar sürede kendiliğinden gerçekleşir. Bu basit durumu bilgisayarla öngörmek onlarca yıl sürdü. 2020’de AlphaFold2, bu problemi deneysel ölçüm hassasiyetine yakın bir düzeyde çözdü. Ardından 200 milyondan fazla protein yapısı açık erişime sunuldu. 2024 Nobel Kimya Ödülü’nün yarısı bu çalışmaya verildi. Bu hesaplama yönteminin kimya alanında Nobel’le taçlandırılması, matematiksel düşünmenin doğa bilimleri içindeki konumunu tek başına anlatır.

Fizik Yasalarını Modele Öğretmek: Hava tahmininde son yılların en dikkat çekici gelişmesi, sinir ağı temelli modellerin klasik sayısal hava tahmini sistemleriyle yarışabilir doğruluğa ulaşmasıdır. Buradaki matematiksel yenilik çok zariftir: modelin hata fonksiyonuna yalnızca “tahminin gözlemden sapması” değil, “tahminin fizik yasalarını ihlal etmesi” de ceza olarak yazılır. Yani model, veriye uymakla kalmaz, korunum yasalarına da uymaya zorlanır. Bilgiyi mimariye gömmek MDB’nin en incelikli hamlelerinden biri gibi durmuyor mu?

Bu noktada dikkatli olalım. Yapay zekânın tahmin başarısı üzerine dolaşan sayıların önemli bir kısmı, şirket tanıtım metinlerinden gazete başlıklarına, oradan sohbetlere sıçrayarak gittiği yolda büyür. “On kat daha iyi”, “insan uzmanları geçti” türü ifadeler karşısında MDB’nin öğrettiği soru hazır olmalıdır: Neyin on katı? Hangi ölçüte göre? Hangi veri kümesinde? Kim ölçtü? Önceki bölümlerdeki uyarı burada da geçerlidir: “Sayı, doğruluk garantisi değil, doğrulama davetidir.”

Genelleme ve Ölçeğin Şaşırtıcı Matematiği

Yapay zekâ araştırmasının en tuhaf deneysel bulgusu, ölçek yasalarıdır. Model büyüklüğü, veri miktarı ve hesap gücü arttıkça başarımın kuvvet yasası biçiminde, yani düzenli bir eğriyle iyileştiği gözlenmiştir. Bu, mühendislikte alışılmadık bir durumdur. Nadiren bir sistemin ne kadar büyütülürse ne kadar iyileşeceği önceden bu kadar temiz bir eğriyle kestirilebilir. Ancak büyüklük başarıyı garantilemez, makineler aynı temel hatalarını, sadece daha kitlesel ölçekte yapabilirler.

Buna eşlik eden bir başka gözlem daha var. Bazı yetenekler (çok basamaklı aritmetik, adım adım akıl yürütme, alışılmadık talimatları izleme) küçük modellerde hiç görünmez, belirli bir ölçeğin üstünde neredeyse ansızın belirir. Bu olguya “ortaya çıkan yetenekler” adı verildi. Ancak burada MDB’nin uyarı ışığı yanmalıdır, çünkü sonraki çalışmalar, bu ani sıçramaların bir bölümünün doğanın değil ölçütün eseri olduğunu gösterdi. “Tamamen doğru mu, değil mi” biçiminde ikili puanlanan bir ölçüt kullanırsanız, sürekli iyileşen bir yeteneği bile eşik atlayan bir sıçrama olarak görürsünüz. Yani olguyu üreten şey, ölçme aracının kendisidir.

Bu, bu yazı dizisinin belki de en çok tekrarlanmaya değer dersidir. Ölçtüğünüz şey, ölçme biçiminizden bağımsız değildir. Aynı hatayı sınav notlarında, işletme başarı göstergelerinde, sağlık istatistiklerinde ve seçim anketlerinde de yaparız. Matematiksel düşünme, cevaba bakmadan önce cetvele bakmayı öğretir.

Makinenin Mantık Hataları

Daha önceleri insanın mantık hatalarını konuşmuştuk. Şimdi aynı listeyi makine için kuralım! Benzerlik ürkütücüdür.

Bağıntıyı Nedene Çevirmek: Sinir ağları, veri içindeki her düzenli örüntüyü ayrım gözetmeksizin kullanır. Radyolojik görüntülerden hastalık tanısı koymayı öğrenen modellerin, hastalığın kendisi yerine görüntüdeki hastane damgasını, cihaz markasını ya da görüntüleme açısını öğrendiği vakalar literatürde belgelenmiştir. Model doğru cevabı verir, ama yanlış nedenden. Başka bir hastaneye götürüldüğünde bu başarı çöker. Bu, tam olarak XIII. yazıda anlattığımız “aynı anda olan iki şeyi birbirinin nedeni sanmak” yanılgısının silikon versiyonudur.

Taban Oranını Unutmak: Yüzde 99 doğrulukla çalışan bir tanı sisteminin, toplumda on binde bir görülen bir hastalık için verdiği “pozitif” sonucun gerçekten hastalık anlamına gelme olasılığı yüzde bir civarındadır. Bu hesap XIII. yazıda yapılmıştı; yapay zekâ çağında önemi yüz kat arttı, çünkü artık bu tür sistemler işe alımda, kredi değerlendirmesinde, güvenlik taramasında ve sınır kapılarında kullanılıyor. Yüzde 99 doğruluk derecesine sevinen bir yönetici ile taban oranını soran bir yönetici arasındaki fark, MDB’nin ta kendisidir.

Örneklem Yanlılığı: Model, verisinin aynasıdır. Geçmiş işe alım kararlarıyla eğitilmiş bir sistem, geçmişteki ayrımcılığı istatistiksel bir yasa gibi öğrenir ve geleceğe taşır. Buradaki tehlike, ayrımcılığın matematiksel bir nesnellik kılığına girmesidir. “Karar algoritma tarafından verildi” cümlesi, sorumluluğu buharlaştıran modern bir safsatadır.

Kendinden Emin Uydurma: Dil modellerinin en bilinen kusuru, olmayan bir kaynağı, olmayan bir yasa maddesini, olmayan bir istatistiği kusursuz bir dille üretmesidir. Bunun nedeni anlaşılırdır: bu modeller doğruyu değil, olası olanı üretmek üzere eğitilmiştir. Bir cümlenin akıcı olması ile doğru olması arasındaki bağ, dil modelinin hedef fonksiyonunda hiç yer almaz. 2023’te bir avukatın, mahkemeye bir dil modelinin uydurduğu içtihatları sunması ve yaptırıma uğraması, bu kusurun ne kadar somut sonuçlar doğurabildiğini gösterdi. Akıcılığı yetkinlik sanmak, aslında insanlar arasında da yaptığımız eski bir hatadır.

Bu sıralarda, makine matematiği kendisi yapabilmeye başladı, o zaman matematikçiye ne iş kalıyor?

Peki matematiği makine mi yapacak?

Son yılların en heyecan verici gelişmesi, yapay zekânın matematiğin kendisine el atmasıdır. Geometri ve olimpiyat düzeyinde problem çözen sistemler, uluslararası yarışma sorularında madalya eşiklerine ulaşan başarılar bildirdi. Bundan daha kalıcı olan bir başka gelişme ise, teorem doğrulama yazılımlarının matematikçiler tarafından benimsenmesidir.  Bir ispatın her adımı makine tarafından denetlenebilir hâle geldiğinde, matematiğin sosyal doğrulama süreci de değişmeye başlıyor.

Ama bu, matematikçinin işini elinden almak değildir. Bir makine, verilen bir önermeyi ispatlamayı deneyebilir. Hangi önermenin ispatlanmaya değer olduğunu ise henüz kimse makineye anlatabilmiş değil. Matematik tarihindeki büyük kırılmalar, çözülen problemlerden çok sorulmaya değer bulunan yeni sorulardan doğmuştur zira bir kavramı ilk kez merak etmek, onu hesaplamaktan başka ve önemli bir yetenektir. 

Sonuç: Hesaplayan makine, soran insan

Yapay zekâ, matematiksel düşünmenin şimdiye kadar üretilmiş en güçlü kaldıracıdır. Ama kaldıraç, hangi yöne bastırılacağını bilmez.

Bu yüzden MDB, yapay zekâ çağında değerini yitirmiyor tam tersine, ilk kez bu kadar kritik hâle geliyor. Hesap yapmayı makine devraldığında insana kalan, hesabın anlamını denetlemektir. Modelin hangi varsayımlar üzerine kurulduğunu görmek, verinin neyi temsil edip neyi dışarıda bıraktığını sormak, çıkan sayının hangi ölçütle üretildiğini araştırmak, güzel bir cümlenin arkasında boşluk olabileceğini akılda tutmak da yapay zekânın işidir.

Bu yazıyı okurken, elinizdeki cihazda çalışan sistemler saniyede milyarlarca aritmetik işlem yapıyor. Klavyenizin sonraki kelimeyi tahmin etmesi, arama motorunuzun cümlenizi tamamlaması, bankanızın işleminizi onaylaması — hepsi Boole’un, Bayes’in, Newton’un ve Gauss’un düşüncelerinin canlı biçimleridir. Matematik artık kâğıt üzerinde yapılan bir uğraş değil dünyanın işleyiş biçimidir.

Ve tam bu yüzden, önceki yazıyı kapatan cümleyi yeniden yazmakta bir sakınca görmüyorum: bilgelik, cevaba sahip olmak değil; cevabı sorgulayabilmektir. Karşımızdaki makine her geçen yıl daha iyi cevap veriyor. Soru sormayı ona bırakmadığımız sürece, bu bir kayıp değil kazançtır.