Matematiksel Düşünme Becerisi Yazıları VI

Matematik ve Mantık

Matematik ve mantık, bilimsel düşünceyi dolayısıyla matematiksel düşünme becerisini karşılıklı olarak tamamlayan ve sarmal biçimde içi içe geçmiş iki disiplindir. Öyle ki çoğu zaman karşılaştığımız bir durumun matematik mi mantık mı olduğunu bile ayırt edemeyebiliriz. Bu sarmaşık alanların mevcut yapısı hem teorik hem de uygulamalı bilimlerde kritik bir rol oynar.

Öncelikle yazıya konu ettiğim “mantık”ın tanımını ve kullanıldığı alanları öğrenelim. Zira herkesin hemen her olayda aradığına şahit olduğumuz mantık ile akademik olarak kullanılan mantığın aynı kavramlar olup olmadığını anlayacak kadar “mantık bilgisine” sahip olmamız gerekir: “Mantık, doğru düşünme ve akıl yürütme kurallarını inceleyen bir disiplindir. Mantık, bir sonuca ulaşmak için kullanılan yöntemlerin tutarlılığını (çelişkisiz olmasını) ve geçerliliğini (sonucun öncüllerden doğru bir şekilde çıkarılmasını) değerlendirir. Bu, mantığın temel işlevlerinden biridir ve akıl yürütme süreçlerimizin sağlam bir temele dayanmasını sağlar. Mantık, bir işin olup olmayacağına karar verir. Çünkü mantık bu kararı oluştururken kullanılan akıl yürütme sürecinin temelini oluşturur.” Mantığın bu güzel tarifinden sonra kullanıldığı alanlara bakalım: “Matematik, felsefe, bilgisayar bilimi ve dilbilim ve özellikle semantik gibi alanlarda kullanılır. Mantık sadece bu alanlarda değil günlük yaşamda, organizasyonel işlemlerde, sistematik proseslerde, karar verme süreçlerinde ve ikna/tartışma gibi sosyo-politik, psikoloji, siyaset gibi beşerî bilimlerde de kullanım alanı bulmaktadır.

Bu kadar tanım ve tanıtımdan sonra konuya nüfuz etmek için bazı ayıklamaları yapmakta fayda var. Başat olarak şunu söylemek gerekmektedir: “Mantıksal süreç her zaman sizi “doğru ve en iyiye” götürmeyebilir.”  Bunun nedeni şudur: “Mantık, yalnızca verilen bilgiler ve kullanılan akıl yürütme yöntemleri kadar güçlüdür. Eğer mantıksal sınamaya giren bilgiler eksik, yanlış ya da bağlamdan kopuksa, kullanılan mantık süreç hatalı veya eksik sonuçlara ulaşır.” Mantıksal sınamaya başlangıçta “doğru bilgi”yi girdi olarak verirseniz çıktınız da mantıklı ve doğru olacaktır. Aksi halde mantıksal süreçten geçmiş “yanlış/kötü” bilgi çıkacaktır.

Matematikte Mantığın Rolü Nedir?

Bilindiği gibi matematiğin temelini matematiksel aksiyomlar (ispat gerektirmeyen ve kabul edilen doğrular) ve teoremler oluşturur. Mantık ise bu aksiyomlar ve teoremler arasındaki ilişkilerin tutarlılığını belirler. Mantık sayesinde matematiksel aksiyomların ve teoremlerin doğruluğu ve yanlışlığını fark ederiz. (Yeri gelmişken şunu kaydedelim: Bu mantıksal sınama her bilim için gereklidir. Aksi halde “bilim” adına ortaya atılan her bilgi “mantıksız” olacağı için “mantıksız bilim” gibi ucube alanlar türeyebilir.) Örneğin matematikte “Üçgen Eşitsizliği” olarak bilinen bir aksiyom vardır ve kural şöyledir: “Bir üçgenin herhangi iki kenarının uzunluğunun toplamı, üçüncü kenarın uzunluğundan büyük olmalıdır.”  Bu matematikte bir üçgenin çizilebilme kuralıdır. Yani üçgen bu mantığa göre çizilir. Bu bilgi elimizde olduğuna göre artık rastgele aldığımız herhangi üç uzunluk değeri ile üçgen çizemeyeceğimizi anlamış olmalıyız. Örneğin kenar uzunlukları 2, 3 ve 6 cm olan üç çubuğu ne yaparsanız yapın bir araya getirip üçgen oluşturmazsınız. Sadece bu kriteri sağlayan üç değerin uzunluklarını tam kullanarak üçgen çizilebilir.  Örnek: 3, 4, 5 üçgeni (Sağlamalar okuyucuya ödev bırakılmıştır). Hani günlük yaşamda deriz ya: “bu işin mantığı nedir? İşte o mantık bu mantıktır. Demek ki bir işin olup olmayacağına karar veren bilgiye mantık diyoruz.

Mantık; tümevarım, tümden gelim ve en iyi açıklama çıkarımı yöntemlerini kullanarak sonuç üretir. Eğer bu yöntemleri kullanmayı bilmiyorsak üzerinde çalıştığımız alanda “mantıklı” bir iş yaptığımız söylenemez. Bu sefer dönüp mantıklı olup olmadığını anlamak için “mantıksal sınama” yapmanız gerekmektedir. Bu konuya daha fazla girip canınızı sıkmak istememem ama çok sevdiğim edebiyat alanından bir örnekle olayın vahametini anlatmak isterim.  Mantıklı bir cümle kurmak için anlamlı ve açık bir ifadeler kullanılmalı, totoloji ve çelişkiden kaçınılmalı, sebep-sonuç ilişkisi doğru kurulmalı, gerçeklik ve doğruluk gözetilmeli, dilbilgisi kurallarına uyulmalı, bağlama uygun olunmalı ve akıl yürütme kurallarına dikkat edilmelidir.

Matematiğin Rolü

Matematik, mantığın soyut ilkelerini somutlaştırarak; sayılar, şekiller ve matematiksel yapılar-formüller üzerinden gücünü ve varlığını ifade eder. Mantığı matematiğe ve matematiği de mantığa uygulayarak mantıksal düşüncenin ve matematiksel düşünme becerisinin gündelik yaşama uygulanabilirliğini arttırabiliriz. Matematiğin mantığı somutlaştırarak nasıl uygulanabilir hale getirdiğini, klasik bir örnek olarak, olasılık teorisi ve istatistikten verebiliriz: Mantık, bir olayın gerçekleşme olasılığı hakkında bize soyut ilkeler sağlar. Örneğin, bir olayın kesinlikle gerçekleşmeyeceği (olasılık = 0) veya kesinlikle gerçekleşeceği (olasılık = 1) gibi kavramları tanımlar.

Örneğin bir tıbbi araştırmada, piyasaya sürülen yeni bir ilacın etkisini değerlendirmek için bazı istatistiksel analizler yapılır. Öncelikle, “ilacın etkisi yoktur” şeklinde bir “null hipotez” oluşturulur (mantıksal bir varsayım). Daha sonra, deneylerden elde edilen veriler matematiksel yollarla analiz edilir ve bu analiz, sınanarak elde edilmeye çalışılan mantıksal düşünceyi sayısal sonuçlarla destekler, aynı zamanda uygulamaların sonuçlarına bakarak karar vermeyi kolaylaştırarak mümkün kılar.

Bu şekilde, matematik mantığın soyut ilkelerini alır ve onları sayılar, formüller ve yapılar aracılığıyla somut hale getirir, böylece bu ilkelerin çeşitli bilimsel ve pratik problemlerde uygulanabilmesini sağlar.

Bu yazının konusunu anlamak için bir adım daha atıp yukarıda bahsettiğim üçgen, kare, dörtgen gibi geometrik nesneleri çizen Öklid’i (MÖ 330-270) ve geometrisini hatırlayalım. Öklid 2300 yıl önce doğrular ve eğrilerden oluşan çizgileri kullanarak üçgen, çember, kare olarak isimlendirdiği matematiksel yapıları icat ederek Öklid Geometrisini kurmuştur. Daha sonraki yıllarda mantık işin içine girerek bu aksiyomları bilimselleştirmiş ve matematiksel nesnelerin çizilmesini sağlayan üçgen eşitsizliği gibi formüllerin yazılmasını temin etmiştir. Mantık olmasaydı üçgenin hangi kurala göre çizildiğini formülleştirmek belki daha zor ya da mantıktan başka kurallara tabi olacaktı. Ez cümle tüm bu yapılanlardan insanoğlunun bilimi ve mantığı fıtrata, akla ve doğal gözlemlere dayanarak ortaya koyduğu gerçeğini açık bir şekilde anlamış oluyoruz.

Eminim sizler de hayatınızda üçgen eşitsizliğini bilmeden üçgen, pi sayısını da bilmeden çokça çember çizmişsinizdir. Demek ki önceki yıllarda geometrik nesneleri çizerken işin mantığını bilmeden çizmiş olma ihtimalinizin yüksek olduğunu da düşünüyorum! Çünkü çizdiğiniz üçgenlerin iki kenarının toplamının üçüncü kenardan büyük olduğunu bilmek başka bir şey, üçgeni çizmek başka bir şey. Çok kere yaptığımız işlerin formülünü bilmeyiz yada tersine olarak formülünü bildiğimiz bilgilerin de ne işe yaradığını bilemeyebiliriz. Netice olarak insan, bilginin kaynağı olan doğadan doğru bilgi alma yöntemleri ile aldığı bilgileri önce akıl ile işleyip, sembollere dönüştürdüğü bir süreçten geçirerek kısaca bilim ve mantığı bir potada eriterek doğadaki gerçeği ortaya çıkarmaya çalışmaktadır diyebiliriz.

Aynı süreç fizik biliminde de var. Aslında bugün bilim adamlarını üzerinde çokça konuştuğu fizik bilimi yaşamımızın bir parçasıdır. İnsanlar çoğu kez fiziksel kuralları bilmeden fizik kurallara göre hareket ederler. Örneğin virajda sürücünün iç kulvardan hızla viraja girmesi gibi. Bu konu şimdilik ileride ele alacığımız konu olarak bir kenarda kalsın…